突然の退職願に会社は応じなければならないの？拒否や引き延ばしはできる？

法的には、退職の申し出から「２週間経過」で契約終了となるとされており、これ以上の引留めはできませんし退職の拒否もできません。

※このルールは、正社員など「期間の定めのない」契約の場合に関する民法の規定です。
　期間の定めがある場合については最後に補足します。

労働者が「今日で辞めます」と申し出た場合でも「２週間は働いてもらいます」と言うことはできますが、現実の場面では出勤してこないことのほうが多いです。
無理やり引きずり出すわけにもいきませんし、そのような従業員が出勤したところで果たして会社にとって良いのか、ということも考慮する必要があります。

なお就業規則などで「退職する場合には１か月以上前に申し出ること」などと規定することがあります。
これについては裁判でも判断が分かれており、ケースバイケースです。
・民法は任意の規程なので、会社独自のルールを作ることは特に問題がない
という裁判例もあれば
・強行法規であるため、そのようなルール自体が無効である
とする裁判例もあります。

労務管理を行う立場としては、引継ぎや人員の補充などの時間が必要ですので「適切な範囲で」自社ルールを設けるということも有効と考えます。
ただし、３カ月前など長く設定した場合には公序良俗違反としてルールとしての効果が認められにくくなりますので注意が必要です。

（補足）
「期間の定めのある契約」の場合については、
そもそも契約期間が終了するまでは継続することが前提ですので、何日前までにというルールはありません。
ただし、
「やむを得ない理由がある」という場合に限って「直ちに解除ができる」と定められておりますが、やむを得ない理由にあてはまるかどうかが争点となります。